圏 $\mathcal C$ から圏 $\mathcal D$ への関手 $F:\mathcal C\to\mathcal D$ は、次の対応からなる。

• 各対象 $A\in\mathcal C$ に、対象 $F(A)\in\mathcal D$ を対応させる
• 各射 $f:A\to B$ に、射 $F(f):F(A)\to F(B)$ を対応させる

ただし、恒等射と射の合成を保存する。

• $F(\mathrm{id}_A)=\mathrm{id}_{F(A)}$
• $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$