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半順序集合
X
:
X:
X
:
集合
.
X
X
X
上の二項関係
≤
\le
≤
について、以下が成り立つとき、
(
X
,
≤
)
(X,\le)
(
X
,
≤
)
を
半順序集合
という。
∀
x
∈
X
,
x
≤
x
\forall x \in X,\; x \le x
∀
x
∈
X
,
x
≤
x
（反射律）
∀
x
,
y
,
z
∈
X
,
x
≤
y
,
y
≤
z
⟹
x
≤
z
\forall x,y,z \in X,\; x \le y,\; y \le z \Longrightarrow x \le z
∀
x
,
y
,
z
∈
X
,
x
≤
y
,
y
≤
z
⟹
x
≤
z
（推移律）
∀
x
,
y
∈
X
,
x
≤
y
,
y
≤
x
⟹
x
=
y
\forall x,y \in X,\; x \le y,\; y \le x \Longrightarrow x = y
∀
x
,
y
∈
X
,
x
≤
y
,
y
≤
x
⟹
x
=
y
（反対称律）
Example
集合族と包含関係
(
P
(
S
)
,
⊆
)
(\mathcal{P}(S), \subseteq)
(
P
(
S
)
,
⊆
)
正の整数と整除関係
(
Z
>
0
,
∣
)
(\mathbb{Z}_{>0}, \mid)
(
Z
>
0
,
∣
)
自然数と大小関係
(
N
,
≤
)
(\mathbb{N}, \le)
(
N
,
≤
)
