Logo

Nola's Backyard

普遍性@圏論

圏論における普遍性とは、ある対象を、具体的な構成ではなく、他のすべての候補との間にある一意な射によって特徴づける性質である。

Hint
  • 「条件を満たす対象の中でもっとも基本的なもの」
  • 条件を満たす標準的な対象であり、どの候補からも（または、どの候補へも）ただ1通りに射が引ける
Example

集合 A,BA,B の直積 A×BA\times B には、射影

πA:A×B→A,πB:A×B→B \pi_A:A\times B\to A,\qquad \pi_B:A\times B\to B

がある。任意の集合 XX と写像 f:X→Af:X\to A, g:X→Bg:X\to B に対し、両方をまとめる写像

h:X→A×B,h(x)=(f(x),g(x)) h:X\to A\times B,\qquad h(x)=(f(x),g(x))

がただ1つ存在し、次の図式が可換になる。

Xf↙↓h↘gA← πA A×B→ πB B \begin{array}{ccccc} & & X & & \\ & {}^{f}\swarrow & \downarrow\scriptstyle h & \searrow^{g} & \\ A & \xleftarrow{\ \pi_A\ } & A\times B & \xrightarrow{\ \pi_B\ } & B \end{array}

つまり πA∘h=f\pi_A\circ h=f かつ πB∘h=g\pi_B\circ h=g である。この「ただ1つ存在する」という性質が、直積の普遍性である。