有向グラフを、頂点集合 $V$、辺集合 $E$、各辺の始点と終点を与える写像

$$s,t:E\longrightarrow V$$

の組 $G=(V,E,s,t)$ とする。この $G$ が生成する自由圏 $F(G)$ を次のように定義する。

• 対象
  • $\operatorname{Ob}(F(G))$ とする
  • すなわち、$F(G)$ の対象は $G$ の頂点である。
• 射
  • $x,y\in V$ に対して、$x$ から $y$ への射の集合を

$$\operatorname{Hom}_{F(G)}(x,y) = \left\{ (e_1,\ldots,e_n) \middle|\ \begin{array}{l} n\ge 1,\ e_i\in E,\\ s(e_1)=x,\ t(e_n)=y,\\ t(e_i)=s(e_{i+1})\quad(1\le i<n) \end{array} \right\}$$

    とし、さらに $x=y$ の場合に限り、長さ $0$ の空パス $()_x$ を加える。
    - したがって、射は $G$ 上の有限長の有向パスそのものである。特に、辺 $e\in E$ は長さ $1$ のパス $(e):s(e)\to t(e)$ として射になる。

• 二つの射

$$p=(e_1,\ldots,e_n):x\longrightarrow y, \qquad q=(f_1,\ldots,f_m):y\longrightarrow z$$

の合成を、列の連結

$$q\circ p = (e_1,\ldots,e_n,f_1,\ldots,f_m):x\longrightarrow z$$

によって定める
- 空パスを含む場合も、空の列を連結しても列が変わらないものとして同じ式を用いる。

各 $x\in V$ の恒等射を

$$\operatorname{id}_x=()_x$$

と定める。有限列の連結は結合的であり、空列は連結の単位元なので、

$$r\circ(q\circ p)=(r\circ q)\circ p, \qquad p\circ\operatorname{id}_x=p, \qquad \operatorname{id}_y\circ p=p$$

が成り立つ。よって $F(G)$ は圏である。