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Nola's Backyard

自由圏の普遍性

以下では、有向グラフ GG が生成する自由圏を F(G)F(G) と書く。

U(C)U(\mathcal C) を、圏 C\mathcal C の対象と射だけを取り出し、合成や恒等射の構造を忘れた有向グラフとする。また、

ηG:G⟶U(F(G)) \eta_G:G\longrightarrow U(F(G))

を、頂点を同じ対象へ、辺を長さ 11 のパスへ送る自然な写像とする。

このとき、任意の圏 C\mathcal C と任意のグラフ準同型

φ:G⟶U(C) \varphi:G\longrightarrow U(\mathcal C)

に対して、次の三角形を可換にする関手

φ‾:F(G)⟶C \overline{\varphi}:F(G)\longrightarrow \mathcal C

がただ一つ存在する。

G→  ηG  U(F(G))φ ⁣↘↓ U(φ‾)U(C) \begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{\;\eta_G\;} & U(F(G)) \\ & {\scriptstyle\varphi}\!\searrow & \Big\downarrow\mathrlap{\,\scriptstyle U(\overline{\varphi})} \\ & & U(\mathcal C) \end{array}
Note

ここで、忘却関手

U:Cat⟶Graph U:\mathbf{Cat}\longrightarrow\mathbf{Graph}

は、圏 A\mathcal A をグラフ U(A)U(\mathcal A) へ送り、関手 H:A→BH:\mathcal A\to\mathcal B をグラフ準同型

U(H):U(A)⟶U(B) U(H):U(\mathcal A)\longrightarrow U(\mathcal B)

へ送る。したがって、φ‾:F(G)→C\overline{\varphi}:F(G)\to\mathcal C に UU を適用すると、下段の射 U(φ‾)U(\overline{\varphi}) が得られる。

F(G)→  φ‾  CU↓↓UU(F(G))→  U(φ‾)  U(C) \begin{array}{ccc} F(G) & \xrightarrow{\;\overline{\varphi}\;} & \mathcal C \\ {\scriptstyle U}\Big\downarrow & & \Big\downarrow{\scriptstyle U} \\ U(F(G)) & \xrightarrow{\;U(\overline{\varphi})\;} & U(\mathcal C) \end{array}

具体的には、U(H)U(H) は関手 HH の対象と射への作用をそのまま用いて

U(H)V(x)=H(x),U(H)E(f)=H(f) U(H)_V(x)=H(x), \qquad U(H)_E(f)=H(f)

と定義される。特に、

U(φ‾)(x)=φ‾(x),U(φ‾)(p)=φ‾(p) U(\overline{\varphi})(x)=\overline{\varphi}(x), \qquad U(\overline{\varphi})(p)=\overline{\varphi}(p)

である。(なお、縦向きの UU は圏やグラフのあいだの射ではなく、忘却関手を適用する操作を表す。そのため、厳密にはこの四角形は一つの圏の中の可換図式ではなく、UU の対象および射への作用を表す模式図である。)

# 証明

グラフ準同型 φ\varphi の頂点に対する写像を φV\varphi_V、辺に対する写像を φE\varphi_E と書く。

# 存在

φ‾:F(G)→C\overline{\varphi}:F(G)\to\mathcal C を、対象 xx に対して

φ‾(x)=φV(x) \overline{\varphi}(x)=\varphi_V(x)

と定める。また、F(G)F(G) の射であるパス

p=(e1,…,en):x⟶y p=(e_1,\ldots,e_n):x\longrightarrow y

に対して、

φ‾(p)=φE(en)∘⋯∘φE(e1) \overline{\varphi}(p) = \varphi_E(e_n)\circ\cdots\circ\varphi_E(e_1)

と定める。φ\varphi はグラフ準同型なので辺の始点と終点を保ち、右辺の射は順に合成できる。空パス ()x()_x に対しては

φ‾(()x)=id⁡φV(x) \overline{\varphi}(()_x) = \operatorname{id}_{\varphi_V(x)}

と定める。

まず、この写像は恒等射を恒等射へ送る。また、

p=(e1,…,en):x→y,q=(f1,…,fm):y→z p=(e_1,\ldots,e_n):x\to y, \qquad q=(f_1,\ldots,f_m):y\to z

とすると、自由圏における合成はパスの連結なので、

q∘p=(e1,…,en,f1,…,fm) q\circ p=(e_1,\ldots,e_n,f_1,\ldots,f_m)

である。したがって、

φ‾(q∘p)=φE(fm)∘⋯∘φE(f1)∘φE(en)∘⋯∘φE(e1)=φ‾(q)∘φ‾(p) \begin{aligned} \overline{\varphi}(q\circ p) &= \varphi_E(f_m)\circ\cdots\circ\varphi_E(f_1) \circ \varphi_E(e_n)\circ\cdots\circ\varphi_E(e_1)\\ &= \overline{\varphi}(q)\circ\overline{\varphi}(p) \end{aligned}

となる。よって φ‾\overline{\varphi} は関手である。

さらに、ηG\eta_G は頂点 xx を xx へ、辺 ee を長さ 11 のパス (e)(e) へ送るので、

φ‾(x)=φV(x),φ‾((e))=φE(e) \overline{\varphi}(x)=\varphi_V(x), \qquad \overline{\varphi}((e))=\varphi_E(e)

である。したがって、頂点と辺の両方で

U(φ‾)∘ηG=φ U(\overline{\varphi})\circ\eta_G=\varphi

が成り立つ。

# 一意性

U(H)∘ηG=φU(H)\circ\eta_G=\varphi を満たす別の関手 H:F(G)→CH:F(G)\to\mathcal C があるとする。この等式から、すべての頂点 xx と辺 ee について

H(x)=φV(x),H((e))=φE(e) H(x)=\varphi_V(x), \qquad H((e))=\varphi_E(e)

である。

任意の非空なパスは、長さ 11 のパスの合成として

(e1,…,en)=(en)∘⋯∘(e1) (e_1,\ldots,e_n) = (e_n)\circ\cdots\circ(e_1)

と書ける。HH は関手なので、

H((e1,…,en))=H((en))∘⋯∘H((e1))=φE(en)∘⋯∘φE(e1)=φ‾((e1,…,en)) \begin{aligned} H((e_1,\ldots,e_n)) &=H((e_n))\circ\cdots\circ H((e_1))\\ &=\varphi_E(e_n)\circ\cdots\circ\varphi_E(e_1)\\ &=\overline{\varphi}((e_1,\ldots,e_n)) \end{aligned}

となる。また、関手は恒等射を保つため、空パスに対しても

H(()x)=id⁡φV(x)=φ‾(()x) H(()_x)=\operatorname{id}_{\varphi_V(x)} =\overline{\varphi}(()_x)

である。したがって、HH はすべての対象と射において φ‾\overline{\varphi} と一致する。ゆえに H=φ‾H=\overline{\varphi} であり、この関手
はただ一つである。□\square