🧠そもそも普遍性って何が嬉しいの？

普遍性の嬉しさについて考える。

対象を構成ではなくて性質によって定義できる
同型を除く一意性が得られる
普遍的な対象から (ある条件を満たす) 任意の対象へ射を構成できる
- 普遍性が要求する最小限のデータを与えれば、目的の射が一意に得られる
  - 普通、射の具体的な構成を与える必要があるのでかなり楽になる
射の一意性を用いて「2つの射が等しいこと」を示せる
関手を誘導することがある

項目	それ自体によって得られる保証	それによって簡単になること・可能になること
1. 構成によらない特徴づけ	対象の役割を具体的な実装から切り離せる	異なる構成が同じ対象を表すことを、個別の構成を比較せずに示せる
2. 同型を除く一意性	構成時の選択に結果の本質が依存しない	構成同士の同型を毎回手作業で探し、逆写像まで確認する作業を減らせる
3. 射の構成	必要なデータから目的の射の存在と一意性が得られる	射全体ではなく、生成元などの小さなデータだけを定義すればよい
4. 射の等しさ	同じ普遍条件を満たす射は等しい	射を要素ごとに計算して比較する代わりに、可換図式の確認だけで等式を証明できる
5. 関手性	対象ごとの構成が射・恒等射・合成とも整合する	ばらばらな構成を関手として扱い、ほかの構成との合成や随伴などを考えられる

Note

1、「完全なテストによって対象自体を定義する」みたいな感じする。

Hint

3と4は、普遍性を道具として使うときに便利という話。

5は、対象ごとに行っていた構成を、射の移し方まで含む統一的な操作へ昇格させる利点である。これによって、その構成をほかの圏論的な構造と組み合わせられるようになる。

(5の具体例 & 途中で3,4も使う)

有向グラフ $G$ から自由圏 $F(G)$ を作る操作を考える。対象 $G$ を $F(G)$ へ送るだけでは、まだ関手ではない。グラフ写像

a:G\longrightarrow H

に対して、関手

F(a):F(G)\longrightarrow F(H)

も定める必要がある。

\eta_G:G\to U(F(G)), \qquad \eta_H:H\to U(F(H))

を自然なグラフ準同型とする。 $a$ と $\eta_H$ を合成すると、

\eta_H\circ a:G\longrightarrow U(F(H))

が得られる。自由圏の普遍性により、このグラフ準同型を延長する一意な関手

F(a):F(G)\longrightarrow F(H)

が存在し、

U(F(a))\circ\eta_G=\eta_H\circ a

を満たす。すなわち、次の図式が可換になるように $F(a)$ が一意に定まる。

\begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{\;a\;} & H \\ {\scriptstyle\eta_G}\!\Big\downarrow & & \Big\downarrow\mathrlap{\,\scriptstyle\eta_H} \\ U(F(G)) & \xrightarrow{\;U(F(a))\;} & U(F(H)) \end{array}

$F(\operatorname{id}_G)$ と $\operatorname{id}_{F(G)}$ は、どちらも $F(G)\to F(G)$ という関手であり、

\begin{array}{ccc} G & \xrightarrow{\;\operatorname{id}_G\;} & G \\ {\scriptstyle\eta_G}\!\Big\downarrow & & \Big\downarrow\mathrlap{\,\scriptstyle\eta_G} \\ U(F(G)) & \xrightarrow{\;U(F(\operatorname{id}_G))\;} & U(F(G)) \end{array}

この図式の下辺には $U(F(\operatorname{id}_G))$ だけでなく、 $U(\operatorname{id}_{F(G)})$ を置いても (明らかに) 可換になる。同じグラフ準同型 $\eta_G$ を延長する関手は一意なので、

F(\operatorname{id}_G)=\operatorname{id}_{F(G)}

である。

G\xrightarrow{a}H\xrightarrow{b}K

に対して、 $F(a)$ と $F(b)$ を定める可換図式を横に並べると、次の図式になる。

\begin{array}{ccccc} G & \xrightarrow{\;a\;} & H & \xrightarrow{\;b\;} & K \\ {\scriptstyle\eta_G}\!\Big\downarrow & & {\scriptstyle\eta_H}\!\Big\downarrow & & \Big\downarrow\mathrlap{\,\scriptstyle\eta_K} \\ U(F(G)) & \xrightarrow{\;U(F(a))\;} & U(F(H)) & \xrightarrow{\;U(F(b))\;} & U(F(K)) \end{array}

したがって、外側の長方形も可換である。 $U(F(b)\circ F(a))$ と $U(F(b\circ a))$ が両方とも同じグラフ準同型 $\eta_K\circ b\circ a$ を延長しているため、一意性から

F(b\circ a)=F(b)\circ F(a)

が成り立つ。したがって、自由圏を作る操作 $F$ は

F:\mathbf{Graph}\longrightarrow\mathbf{Cat}

という関手になる。